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　　日前，北京理工大學數學與統計學院胡峻教授在國際頂級學術期刊《Transactions of the American Mathematical Society》上發表了題為“Fayers’conjecture and the socle of cyclotomic Weyl modules”的研究論文。該論文研究了分圓Schur代數的分圓Weyl模的基座，證明了這些基座中的單模全部都是由Kleshchev多重剖分來參數化，并在此基礎上證明了英國代數學家Fayers提出的關于Fock空間典范基的一個猜想。

　　分圓Schur代數涵蓋了A型的Schur代數以及q-Schur代數作為它的特殊情形，它們在與代數群、量子群、李型有限群及Hecke代數相關的現代李理論中占據重要的地位。例如無限一般線性群以及A型量子群的多項式表示都可歸結為Schur代數與q-Schur代數的表示，而有限一般線性群的冪幺表示也可歸結到q-Schur代數的表示。分圓Weyl模是分圓Schur代數的一類最基本的表示，后者的每個不可約模都可以作為某個分圓Weyl模的單頭，而研究不可約模是分圓Schur代數的表示理論中的核心問題。

　　分圓Weyl模的基座是指它們的最大半單子模。胡峻教授的上述論文在一個一般的“Schur對”的框架下證明了任意Weyl模的基座中的每個單模總是所研究代數的某個不可分解的投射且內射模的（唯一）單頭。胡峻教授把這個理論應用到解決Fayers提出的關于Fock空間的典范基的一個猜想。量子仿射sl_{e}在Fock空間上有一個自然的作用，而Fock空間的某些典范基表成自然基的線性組合時對應的系數多項式（LLT多項式）在v="1的賦值恰好是復數域上A型Iwahori-Hecke代數的單模在對應的Specht模中的合成因子重數，在水平1的情形還能給出復數域上q-Schur代數的單模在對應的Weyl模中的合成因子重數。因此，理解Fock空間的典范基是一個非常重要的基本問題，但這些典范基往往很難計算，目前已有的計算這些典范基的算法效率都不高。Fayers在2006年計算這些典范基時發現上述系數多項式有一個自然的上界，并且猜想這些上界能達到當且僅當對應的多重剖分是Kleshchev多重剖分，他的大量計算實例給出了這個猜想的有力支撐。更為重要的是，一旦這個猜想成立，將導出計算典范基的效率更高的算法。利用近年發展起來的分圓Hecke代數以及分圓Schur代數的Z分次表示理論，特別是Brundan-Kleshchev、Stroppel-Webster、Maksimau以及胡峻與Mathas的箭圖Schur代數理論，他們能夠把上述典范基計算中出現的LLT多項式與這些代數的Z分次分解數聯系起來，通過這些工具把Fayers猜想的研究歸結到分圓Weyl模的基座的研究。

　　這一原創性成果進一步增進了人們對于Weyl模中合成因子重數這一核心問題的理解，該項工作中所使用的Z分次表示理論方法為研究Weyl模中合成因子重數開辟了新的途徑，其中適用于一般“Schur對”的框架的Weyl模的基座理論有著廣闊的應用前景，例如它能夠應用到一些不同的場合包括拋物BGG范疇O、Harish-Chandra雙模理論以及有理Cherednik代數的表示等。

　　該項研究工作是胡峻教授與澳大利亞悉尼大學Andrew Mathas教授（Fellows of the Australian Mathematical Sociey）合作完成，胡峻教授為第一作者，本項工作得到國家自然科學基金的資助。

　　論文鏈接地址：

　　http://www.ams.org/journals/tran/0000-000-00/S0002-9947-2018-07551-1/home.html

【課題組及負責人簡介】

　　北理工數學與統計學院代數團隊積極開展實質性國際合作研究，團隊成員積極開展國際學術交流， 除胡峻教授與澳大利亞悉尼大學Andrew Mathas教授的長期合作外，還有如萬金奎教授與美國弗吉尼亞大學的王偉強教授（Fellows of the AMS），謝迅博士與澳大利亞悉尼大學的Geordie Williamson教授（2018年ICM一小時報告人），近期代數團隊又即將引進一名目前在悉尼大學工作的德裔博士。

　　胡峻，教授，博士生導師，北理工數學與統計學院代數團隊負責人。本科、博士均畢業于華東師范大學。2004年度入選教育部新世紀優秀人才支持計劃，曾在德國Stuttgart大學做洪堡學者，在澳大利亞悉尼大學任高級研究員與首席研究員。長期從事代數群、量子群、Hecke代數以及李代數的結構與表示理論的研究工作，主持國家自然科學基金面上項目以及國家杰出青年科學基金項目。以第一/通訊作者在Mathematische Annalen、Advances in Mathematics、Proceedings of London Mathematical Society、Journal für die reine und angewandte Mathematik等期刊發表SCI論文近50余篇。